数位和加回原数的平方
题面
用 表示 的十进制各位数字之和。在所有满足 的整数 中，有多少个满足 ？其中最小的那个是多少？
- 是严格介于 与 之间的整数。
- 数位和按普通十进制计算，例如 。
想一想
展开提示 1
任何数与它自己的数位和模 同余，所以 迫使 。
展开提示 2
这个同余式在 以内只剩七个候选——再注意到 至多四位、故 之后。
解答
答案这样的 恰好一个，即 ，因为 ，而 。
推导
-
用「数字根」同余式。
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分解条件。
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限制 的大小。
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列出候选。
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逐一检验这七个。
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给出结论。