斜边小于 50 的原始勾股数组共有多少组？所谓原始，指三个数没有大于 1 的公因数。

共七组：(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25)、(20,21,29)、(12,35,37)、(9,40,41)。

每一组原始勾股数都来自一对互素、奇偶性相反的整数 m > n，由 a = m^2 - n^2、b = 2mn、c = m^2 + n^2 给出。

用 \sigma(m) 表示 m 的十进制各位数字之和。在所有满足 1 < n < 100 的整数 n 中，有多少个满足 \sigma(n^2) = n？其中最小的那个是多少？

这样的 n 恰好一个，即 n = 9，因为 9^2 = 81，而 8 + 1 = 9。

任何数与它自己的数位和模 9 同余，所以 \sigma(n^2) = n 迫使 n \equiv n^2 \pmod 9。

111111 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37。

10^6 - 1 既可以按立方差分解，也可以按平方差分解——两个都用上。

想让取袜子的人失败，「对手」会把颜色尽量摊得不均匀：某色 3 只、另外两色各 1 只，一共 5 只，却只有一双。

行和为 2^n，落在区间内的只有 n = 10（和 1024）与 n = 11（和 2048）。

行和有一个一行就能写出的表达式，把它看成 (1+1)^n 的展开即可。

趣味数学，由浅入深三档

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第 28 期 2026 年 10 月 16 日已发布 28 题

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