用 \sigma(m) 表示 m 的十进制各位数字之和。在所有满足 1 < n < 100 的整数 n 中，有多少个满足 \sigma(n^2) = n？其中最小的那个是多少？

这样的 n 恰好一个，即 n = 9，因为 9^2 = 81，而 8 + 1 = 9。

任何数与它自己的数位和模 9 同余，所以 \sigma(n^2) = n 迫使 n \equiv n^2 \pmod 9。

一个抽屉里有 10 只红袜、10 只蓝袜、10 只黑袜，全都散放着，摸起来毫无区别。房间漆黑一片。要**确保**拿到两双完整的袜子（同色两只配成一双，在同色内两两配对），至少要取出多少只？

想让取袜子的人失败，「对手」会把颜色尽量摊得不均匀：某色 3 只、另外两色各 1 只，一共 5 只，却只有一双。

不能。这件事不可能做到。

试一会儿你就会一直失败，但失败不是证明。找找看有没有一种量，每块骨牌对它的影响都相同。

底数随时可以对 5 取余：7 \equiv 2 \pmod 5。

在三维里看，表面上的路径显得弯弯曲曲，但它经过的每一个面都是平的。试试把面展开。

让两个沙漏同时开始。当 7 分钟沙漏第一次漏完时开始计时，此后每次 4 分钟沙漏漏完就翻转它。当它在那之后第三次漏完时停止，正好 9 分钟。

两个沙漏同时开始。只要每次漏完就立刻翻转，4 分钟沙漏就会严格按 4 分钟的节拍跳动，与 7 分钟沙漏完全无关。

把苍蝇无穷多段飞行路程加起来是可行的，但很痛苦。有没有什么是你已经知道的，能让这件事变得不必做？

每次称量有三种结果，所以 k 次称量最多区分 3^k 种情况。

第 47 天 —— 再翻倍一次就满了，此时正好覆盖一半。

你不需要知道池塘的面积，也不需要知道一片睡莲有多大。

第 n 刀新增的块数，等于这条直线穿过的「已有区域」的个数。

「每天净上升 1 米」是个陷阱：青蛙是在某次白天的攀爬中出去的，而不是在某个夜晚结束时出去的。

「让最快的人来回接送」需要 2 + 1 + 5 + 1 + 10 = 19 分钟。有没有办法让最慢的两个人一起过一次桥？

每个因子 10 都需要一个 2 配一个 5。在 1 \cdot 2 \cdots 100 里，哪一个先用完？

\dfrac{24}{64} = \dfrac{3}{8}，即概率 0.375。

按「有几个面露在外面」给小块分类：角块、棱块、面心块，以及藏在里面的内芯。

约 3 时 16 分 22 秒 —— 准确值是 3 点 16\frac{4}{11} 分。

把两根针都换算成「度/分钟」的速度，再把它们之间的夹角写成时间 t 的函数。

**8 只猫**，于是麻雀有 12 只。

「每只动物两只眼睛」不是废话——光靠眼睛数，你就能先得到动物的总只数，根本用不到腿。

一个想法，一两分钟。把题面读两遍，窍门通常就露出来了。

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