斜边小于 50 的原始勾股数组共有多少组？所谓原始，指三个数没有大于 1 的公因数。

共七组：(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25)、(20,21,29)、(12,35,37)、(9,40,41)。

每一组原始勾股数都来自一对互素、奇偶性相反的整数 m > n，由 a = m^2 - n^2、b = 2mn、c = m^2 + n^2 给出。

把 111111 完全分解为质因数，并说明这个分解是如何由恒等式 111111 = \frac{10^6 - 1}{9} 推出的，而不是靠试除。

111111 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37。

10^6 - 1 既可以按立方差分解，也可以按平方差分解——两个都用上。

行和为 2^n，落在区间内的只有 n = 10（和 1024）与 n = 11（和 2048）。

行和有一个一行就能写出的表达式，把它看成 (1+1)^n 的展开即可。

结论是必然的：度数为奇数的人一定有偶数个，所以 3 不可能出现。

不要数握手的次数，改数「握手端点」的总数。

\frac{3}{4}，用一个奇偶性策略达到。

数配置而不是数人：你需要一条在 8 种配置里对 6 种成立、对其余 2 种全体沉默的规则。

内部有 I = 3 个格点；Pick 公式给出 A = 3 + \frac{8}{2} - 1 = 6，与面积 \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 一致。

Pick 定理为 A = I + \frac{B}{2} - 1，其中 I 是内部格点数，B 是边界格点数。

把位置编号为 0 到 51，先算清楚一次 out-shuffle 把位置 p 送到哪里。

路径长度必为偶数；任何闭合的马步路线步数都是偶数。

行号、列号、到中心的距离这些量都在不受控地变化。试试染色。

对 3 取余来看：只要能凑出连续三个数，之后每次再加一张 3 分就能凑出所有更大的数。

「至少有一个是男孩」时是 \frac{1}{3}；随机遇到一个孩子且他是男孩时是 \frac{1}{2}。

先把四种等可能的有序结果写全，再划掉被信息排除掉的那些。

\frac{\sqrt{2}}{2}。取到等号的例子是四个角各一点、第五点在中心。

五个点，却出现了一个不是五的数——先把正方形切成适当数目的等份。

两三个动作串起来。这些是值得动笔的那一类。

已发布 11 题