斜边小于 50 的原始勾股数组共有多少组？所谓原始，指三个数没有大于 1 的公因数。

共七组：(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25)、(20,21,29)、(12,35,37)、(9,40,41)。

每一组原始勾股数都来自一对互素、奇偶性相反的整数 m > n，由 a = m^2 - n^2、b = 2mn、c = m^2 + n^2 给出。

用 \sigma(m) 表示 m 的十进制各位数字之和。在所有满足 1 < n < 100 的整数 n 中，有多少个满足 \sigma(n^2) = n？其中最小的那个是多少？

这样的 n 恰好一个，即 n = 9，因为 9^2 = 81，而 8 + 1 = 9。

任何数与它自己的数位和模 9 同余，所以 \sigma(n^2) = n 迫使 n \equiv n^2 \pmod 9。

111111 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37。

10^6 - 1 既可以按立方差分解，也可以按平方差分解——两个都用上。

想让取袜子的人失败，「对手」会把颜色尽量摊得不均匀：某色 3 只、另外两色各 1 只，一共 5 只，却只有一双。

行和为 2^n，落在区间内的只有 n = 10（和 1024）与 n = 11（和 2048）。

行和有一个一行就能写出的表达式，把它看成 (1+1)^n 的展开即可。

不能。这件事不可能做到。

试一会儿你就会一直失败，但失败不是证明。找找看有没有一种量，每块骨牌对它的影响都相同。

结论是必然的：度数为奇数的人一定有偶数个，所以 3 不可能出现。

不要数握手的次数，改数「握手端点」的总数。

底数随时可以对 5 取余：7 \equiv 2 \pmod 5。

在三维里看，表面上的路径显得弯弯曲曲，但它经过的每一个面都是平的。试试把面展开。

\frac{3}{4}，用一个奇偶性策略达到。

数配置而不是数人：你需要一条在 8 种配置里对 6 种成立、对其余 2 种全体沉默的规则。

让两个沙漏同时开始。当 7 分钟沙漏第一次漏完时开始计时，此后每次 4 分钟沙漏漏完就翻转它。当它在那之后第三次漏完时停止，正好 9 分钟。

两个沙漏同时开始。只要每次漏完就立刻翻转，4 分钟沙漏就会严格按 4 分钟的节拍跳动，与 7 分钟沙漏完全无关。

把苍蝇无穷多段飞行路程加起来是可行的，但很痛苦。有没有什么是你已经知道的，能让这件事变得不必做？

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